수학 수업에서 가장 중요한 부분인 개념 수학
최근 몇 년 동안 수학에서 가장 논쟁적인 주제 중 하나는 개념적 또는 절차적 중 수학 교육에 어떤 유형의 교육적 초점이 더 나은지에 대한 아이디어에 관한 경향이 있습니다. 이 기사에서는 증거 기반의 관점에서 이 질문에 최대한 답하려고 노력할 것입니다. 그러나 당면한 질문에 답하기 전에 용어를 정의하는 것이 가장 좋습니다.
개념 수학: 수학 이면의 핵심 개념을 포함하여 수학이 제대로 작동하고 이해될 수 있도록 합니다. 예를 들어, 학생이 분수에 대한 개념적 이해를 하려면 분수가 전체의 일부라는 것을 이해해야 합니다.
절차적 수학: 계산을 가능하게 하는 프로세스와 공식을 포함합니다. 예를 들어, 절차적 관점에서 분수를 본다는 것은 분수를 더하고, 빼고, 곱하고, 나누는 방법을 이해하는 것을 의미합니다.
Computational Math: 절차적 수학을 사용할 수 있게 해주는 기본적인 수학 사실에 대한 지식을 포함합니다. 계산 수학은 일반적으로 위의 두 가지 유형의 수학보다 덜 중요합니다. 그러나 학생들이 성공하려면 여전히 필요합니다. 예를 들어, 학생은 분수가 무엇인지 알고 분수를 더하는 방법을 알 수 있지만 여전히 계산 기술을 사용하여 문제에 대한 올바른 해를 계산할 수 있어야 합니다.
결국 우리는 학생들이 이 세 가지 유형의 수학을 모두 할 수 있기를 바랍니다. 그러나 수학 유형이 가장 큰 전체 가치를 갖고 있으며 이러한 유형의 수학 중 하나에 중점을 두는 것이 학생들에게 전반적으로 더 나은 수학적 이해로 이어질 수 있는지 여부에 대해 많은 논쟁이 있습니다. 어떤 유형의 수학 수업이 학생들의 수학 이해도를 가장 크게 향상시키는지에 관한 네 가지 주요 이론이 있습니다.
첫 번째 이론은 the procedural 견해입니다. 절차주의자는 일반적으로 수학적 이해가 절차적 지식의 증가에 의해 주도되며 학생의 절차적 이해가 증가하면 개념 및 계산 능력도 증가해야 한다고 믿습니다. 어떤 면에서 우리는 절차주의적 관점을 수학 교육에 대한 전통적인 관점으로 정의할 수 있습니다. 두 번째 이론은 the Conceptual View: Conceptualists라고 합니다. 개념주의자들은 수학적 이해가 일반적으로 말해서 개념적 지식의 증가에 의해 주도된다고 믿습니다. 그들의 절차 및 계산 기술. 개념주의적 관점은 현대 교육 커뮤니티에서 매우 인기가 있습니다. 세 번째 이론은 the Inactivation View: Inactivationist라고 합니다. 특수성을 가르치는 원칙에 대한 우리의 이해는 적어도 이 아이디어에 대한 진실의 핵심이 있어야 함을 시사합니다. 주제에 대한 메타 연구를 한 눈에 봐도 이 관점의 핵심 원칙이 반증되는 것 같습니다. 마지막으로, Iterative View: 는 개념적 학습과 절차적 학습이 상호 연관되어 있으며 기술이 개념적 학습과 절차적 학습 모두를 개발하는 데 도움이 된다고 제안합니다. 개념주의적 관점이 교육계에서 가장 일반적으로 선호되는 이론인 반면, 반복적 관점은 학계 내에서 대체로 동의되고 있습니다._cc781905-5cde-31954-bb3b-136dbad5cf
위의 이론 중 하나에 대한 효능을 확립하기 위해. 우리는 메타 분석과 이러한 교육 유형 중 하나에 중점을 둔 교육 관점의 영향을 살펴볼 필요가 있습니다. 개념주의 이론이 옳았다면, 전체 수학적 학습에 대한 영향에 대한 대부분의 사례 연구는 교사가 개념주의 접근법을 사용할 때 학습의 더 큰 증가를 보여야 합니다. 그러나 2011년 Durkin, Rittle-Johnson, & Star는 이 주제에 대한 메타 연구를 완료했으며 교실에 개념 및 절차 교육을 모두 포함하는 교사가 그렇지 않은 교사에 비해 평균 효과 크기가 .54라는 것을 발견했습니다. 이것은 증거가 반복적 관점이 개념주의적 관점보다 더 정확함을 시사한다는 것을 꽤 분명하게 시사합니다.
일부 개념주의자들은 학생들이 절차적 지식보다 개념적 지식이 부족할 가능성이 더 높기 때문에 개념적 수학 교육에 더 큰 초점을 맞출 필요가 있다고 주장합니다. Rittle-Johnson et al은 2007년과 2009년에 학생들이 개념적 지식이나 절차적 지식에 편향된 지식 집합을 갖는 경향이 있는지 여부에 대한 연구를 수행했습니다. 그들의 연구는 개념적 영역과 절차적 영역 모두에서 학생 지식이 대체로 대칭적이라는 것을 보여주었습니다. 즉, 학생이 한 영역에서 높은 수준의 기술을 가지고 있다면 다른 영역에서도 일반적으로 높은 수준의 기술을 가지고 있음을 의미합니다. 마찬가지로 2011년 Cowan et al의 연구에 따르면 개별 학생의 개념 및 절차 기술 수준 간의 차이는 일반적으로 5% 미만이었습니다.
반복적 관점과 개념주의적 관점을 비교할 때, 반복적 관점이 증거에 의해 더 뒷받침된다는 것이 매우 분명하고 빠르게 나타납니다. 그러나 최근 몇 년 동안 개념주의적 관점이 만연하게 된 이유는 수학 수업에 초점을 맞춘 절차주의적 대 개념주의적 연구 결과와 관련이 있을 것입니다. 지난 20년 동안 순전히 절차적 교수법과 개념적 교수법을 비교하는 여러 연구가 있었으며 대부분은 절차적 접근 방식과 비교할 때 개념적 접근 방식이 약간 더 높은 이점을 보여주었습니다. 이로 인해 많은 교육 전문가들이 개념주의적 접근 방식이 더 우수하다는 결론을 내렸습니다. 이 결론의 문제점은 반복적 접근 방식을 설명하지 않는다는 것입니다. 간단히 말해서 개념주의적 접근이 절차주의적 접근보다 낫다고 해서 개념주의적 접근이 다른 모든 접근보다 낫다는 것도 아니고 교사가 직접 지도를 통해 절차적 교수법을 다루지 않아야 한다는 의미도 아닙니다._cc781905-5cde- 3194-bb3b-136bad5cf58d_
따라서 남아 있는 질문은 어떻게 하면 개념적으로나 절차적으로 동시에 가장 잘 가르칠 수 있는가 하는 것입니다. 2007년과 2009년에 Rittle-Johnson 등이 작성한 논문에서 몇 가지 유용한 제안은 다음과 같습니다. 이 두 전략은 모두 Rittle et al의 유효한 반복적 접근 방식에 따르지만, 문헌에 의해 고수율의 교육적 접근 방식으로 독립적으로 검증될 수도 있습니다. 2011년 Schwartz 등이 작성한 논문에서는 교사가 개념적 접근 방식으로 수업을 시작하고 절차적 접근 방식으로 전환해야 한다고 제안했습니다. 본질적으로 개념적 교육이 수학 수업의 '마음에 대한 생각' 섹션을 형성해야 한다고 제안합니다. Schwartz 등은 이 아이디어의 효능에 대한 어떠한 증거도 제공하지 않았습니다. 반복적 접근이 개념주의나 절차주의적 접근보다 낫다는 것을 이미 알고 있기 때문에 전략을 시도할 때 잠재적인 기회 손실 위험이 거의 없는 것 같습니다. 마찬가지로, 2009년에 작성된 Hiebert & Grouws의 논문에 따르면 교사는 탐구 기반 개념 수학 질문으로 수학 수업을 시작하고 그 수학을 실제 직접 지도로 따라야 한다고 제안합니다.
개인적으로, 수학 교사가 개념적, 절차적 또는 계산적 여부에 관계없이 개별 학생의 개별 약점을 식별할 수 있는 것이 중요하다고 생각합니다. 내 경험상 잘못된 수학 솔루션을 학생에게 왜 틀렸는지 탐색하지 않고 단순히 잘못된 것으로 표시하면 학생 학습이 방해받을 수 있습니다. 특히 학생이 같은 유형의 수학 문제로 오랜 기간 계속해서 어려움을 겪을 때 그렇습니다. 내 개인적인 경험에 따르면, 개별 학생들과 수학 문제에 관해 회의를 할 때, 나는 종종 그들이 특정한 눈에 띄는 약점을 가지고 있음을 발견합니다. 그렇다고 해서 내가 일반적으로 학생들이 구체적으로 절차적 또는 개념적 약점을 가지고 있다는 것을 발견한다는 것은 아니지만 오히려 특정 유형의 수학 문제에 대한 이해가 어느 한 영역의 약점으로 인해 방해를 받을 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 학생의 구체적인 약점을 파악하지 못하면 실제 도움 없이 실수로 같은 내용을 반복해서 가르칠 위험이 있습니다.
예를 들어, 학생이 분수에 대한 지식을 상황 문제에 적용할 수 있기를 원하지만 실제로 분수가 무엇인지 모릅니다. 수학 문제를 풀기 위해 분수 절차를 사용할 때를 식별하는 것은 그 학생이 매우 어려울 것입니다. 우리는 분수 방정식을 푸는 방법을 보여줍니다. 반대로, 공통 분모를 찾는 과정에 어려움을 겪고 결과적으로 분수 수학 방정식을 계속 틀리는 학생이 있다면 분수가 무엇인지에 대한 개념적 이해를 더 강화하는 데 도움이 되지 않을 것입니다. 마지막으로, 학생이 절차 및 개념에 대한 이해도가 높더라도 기본적인 계산 기술이 부족하면 기본 질문에 올바르게 답하지 못할 수 있습니다. 이것은 우리가 모든 수학 수업에서 세 가지 유형의 수학을 모두 지속적으로 가르쳐야 한다는 것을 의미하지 않으며, 매일 모든 학생과 회의를 해야 한다는 의미도 아닙니다. 그러나 시간이 있을 때 어려움을 겪고 있는 학생들과 회의를 통해 특정 수학 요구 사항을 파악하는 것이 큰 이점이 있다고 생각합니다.
이 논의가 끝날 때 마지막으로 고려해야 할 사항은 반복적 접근 방식을 구현하는 실제 효율성입니다. John Hattie의 연구에 따르면 개념주의적 접근 방식은 절차적 접근 방식보다 약간 우수하고 반복적 접근 방식은 개념적 접근 방식보다 훨씬 우수하지만 이러한 접근 방식 중 어느 것도 우리가 고수익 전략이라고 부르는 것이 아닙니다. 즉, 반복적 접근 방식으로 전환하는 것이 교실 수업에 의미 있는 영향을 미치지 않는다는 의미가 아니라, 그 개념이 일반 교사에게 압도적으로 보인다면 덜 도전적인 다른 더 높은 수율 전략을 구현할 수 있다는 것입니다. . 궁극적으로 이 기사를 쓰는 나의 목표는 독자를 수학 교육의 새로운 진영으로 몰아넣는 것이 아니라 설명할 수 없을 정도로 양극화되어 있는 기존 논쟁에 뉘앙스를 추가하는 것입니다.
네이트 조셉이 쓴,
최종 수정일: 2020년 5월 12일
이 주제에 대해 더 알고 싶다면 다음 주제에 대한 Dr. Jon Star와의 인터뷰를 확인하십시오.
참조:
1. Bethany Rittle-Johnson, Michael Schneider. (2011). 수학의 개념 및 절차 지식 개발. 옥스포드 프레스. 페이지 9.
2. 같은
3. Rittle, et al. (2007). 수학적 비일상적 문제 해결 전략의 일반적이고 유연한 사용. 과학 및 교육.
4. Cowan, R., Donlan, C., Shepherd, D.-L., Cole-Fletcher, R., Saxton, M., & Hurry, J. (2011). 초등학생의 기본 계산 능력과 수학 성취도. 교육 심리학 저널, 103, 786–803. 도이: 10.1037/a0024556.
5. Schwartz, DL, Chase, CC, Chin, DB 및 Oppezzo, M. (2011). 연습 대 발명
대조되는 경우: 먼저 말하는 것이 학습과 전이에 미치는 영향. 저널
교육 심리학, 103, 759–775. 도이: 10.1037/a0025140
6. Hiebert, J. & Grows, D. (2009). 수학에 가장 효과적인 교수법은? 더 나은:
증거 기반 교육, 2, 10–11.
7. J, 해티. (2017). Hattie 순위: 학생 성취도와 관련된 252개의 영향 및 효과 크기. 눈에 보이는 학습. 코윈. <에서 가져옴https://visible-learning.org/hattie-ranking-influences-effect-sizes-learning-achievement/>.
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