是概念数学，数学教学中最重要的部分
近年来，数学中最受争议的话题之一往往是关于哪种教学重点更适合数学教学的想法：概念性的还是程序性的。在本文中，我将尝试从基于证据的角度尽可能地回答这个问题。但是，在我们尝试回答手头的问题之前，最好先定义术语。
概念数学： 涉及数学背后的核心概念，使其发挥作用并有意义。例如，为了让学生对分数有概念性的理解，他们需要了解分数是整体的一部分。
程序数学： 涉及使计算成为可能的过程和公式。例如，从程序的角度来看分数意味着了解如何加、减、乘和除分数。
计算数学： 涉及基本数学事实的知识，可以使用程序数学。计算数学通常被认为不如上述两种数学重要；但是，学生仍然需要取得成功。例如，学生可以知道分数是什么，他们可以知道如何添加分数，但他们仍然需要能够使用他们的计算技能来计算问题的正确解。
归根结底，我们希望学生能够完成所有这三种类型的数学。然而，关于哪种类型的数学具有最大的整体价值以及关注这些类型的数学中的一种是否可以提高学生对数学的整体理解，存在很多争论。关于哪种类型的数学教学有助于最大程度地提高学生对数学的理解，有四种主要理论。
第一个理论被称为 the procedural 观点：程序主义者认为，数学理解通常是由程序知识的增加驱动的，如果学生的程序理解增加，他们的概念和计算技能也应该增加。在某些方面，我们可以将程序主义观点定义为传统的数学教育观点。第二种理论被称为 Conceptual View: Conceptualists 认为数学理解通常是由概念知识的增加驱动的，如果学生的概念理解增加，那么应该他们的程序和计算技能。概念主义的观点在现代教育界非常流行。第三种理论称为 Inactivation 观点： Inactivationist 认为这三种技能在很大程度上是分开发展的。好吧，我们对教学特异性原则的理解表明，这个想法必须至少有一个真实的内核，即使快速浏览一下关于该主题的元研究似乎也反驳了这一观点的核心原则。最后，the Iterative View: 建议概念和程序学习是相互关联的，并且概念和程序学习都有助于培养这两种技能。 虽然概念主义观点是整个教育界最普遍偏爱的理论，但迭代观点在学术界得到了广泛认同。
为了确定上述任何理论的有效性。我们需要着眼于荟萃分析以及将教学观点偏重于这些教学类型之一的影响。如果概念主义理论是正确的，那么当教师使用概念主义方法时，大多数关于对整体数学学习影响的案例研究都应该显示出学习的更大增长。然而，在 2011 年，Durkin、Rittle-Johnson 和 Star 完成了一项关于该主题的元研究，发现在课堂上同时包含概念性和程序性教学的教师的平均效应量为 0.54，与没有的教师相比。这很清楚地表明，证据表明迭代观点比概念主义观点更正确。
一些概念主义者认为，概念数学教育需要更加关注，因为与程序性知识相比，学生更有可能存在概念性知识不足。 Rittle-Johnson 等人在 2007 年和 2009 年再次进行了一项研究，研究学生是否倾向于拥有偏向概念性知识或程序性知识的知识集。他们的研究表明，学生在概念和程序领域的知识在很大程度上是对称的，这意味着如果学生在一个领域具有很高的技能，他们通常在另一个领域也具有很高的技能。同样，Cowan 等人在 2011 年的一项研究表明，个别学生的概念和程序技能水平之间的差异通常小于 5%。
当比较迭代观点和概念主义观点时，很明显，很快，迭代观点得到了更多证据的支持。然而，近年来概念主义观点如此盛行的原因可能与最近关于程序主义与概念主义的研究结果集中在数学教学上有关。在过去的 20 年中，有多项研究将纯程序教学与概念教学进行了比较，其中大多数研究表明，与程序方法相比，概念方法的益处略高。这导致许多教育专业人士得出结论，概念主义方法是优越的。这个结论的问题在于它没有考虑迭代方法。更简单地说，仅仅因为概念主义方法优于程序主义方法，并不意味着概念主义方法优于所有其他方法，也不意味着教师不应通过直接教学来涵盖程序性教学。_cc781905-5cde- 3194-bb3b-136bad5cf58d_
所以剩下的问题是，我们如何最好地同时在概念上和程序上进行教学？ Rittle-Johnson 等人在 2007 年和 2009 年再次撰写的论文中提出了一些有用的建议，包括：鼓励学生找到解决同一问题的多种程序方法，以及集体评估数学作业以发现错误。这两种策略都是根据 Rittle 等人有效的迭代方法，但也可以通过文献独立验证为高产出的教学方法。 Schwartz 等人在 2011 年撰写的一篇论文建议教师从概念方法开始课程并过渡到程序方法。从本质上说，概念性教学应该构成数学课的“思想”部分。虽然 Schwartz 等人没有提供任何证据证明这一想法的有效性。尝试该策略似乎确实没有什么潜在的机会损失风险，因为我们已经知道迭代方法比概念主义或程序主义方法更好。同样，Hiebert & Grouws 在 2009 年撰写的一篇论文建议，教师应该从基于探究的概念数学问题开始他们的数学课，并通过实际的直接指导来跟进该数学。
就个人而言，我认为数学教师能够识别个别学生的个人弱点非常重要，无论是概念性的、程序性的还是计算性的。根据我的经验，当我们将不正确的数学解决方案标记为完全错误时，学生的学习可能会受到阻碍，而没有探究学生为什么会出错。当学生在很长一段时间内一直在同一类型的数学问题上苦苦挣扎时，尤其如此。以我个人的经验，当我与个别学生讨论他们的数学难题时，我经常发现他们有一个明显的弱点。这并不是说我通常发现学生有具体的程序或概念上的弱点，而是他们对特定类型的数学问题的理解可能会受到任何一个领域的弱点的阻碍。如果我们无法确定学生的具体弱点，我们可能会冒着不小心一遍又一遍地教他们相同内容的风险，而没有真正帮助他们。
例如，假设我们希望学生能够将他们的分数知识应用于情境问题，但他们不知道分数实际上是什么。该学生很难确定何时使用分数过程来解决数学问题，无论我们向他们展示如何解决分数方程多少次。相反，如果我们有一个学生在寻找公分母的过程中苦苦挣扎，因此不断地弄错分数数学方程，这将无助于他们进一步加强他们对分数是什么的概念性理解。最后，即使学生确实有很强的程序和概念理解，如果他们缺乏基本的计算技能，他们仍然可能无法正确回答基本问题。这并不意味着我们需要在每节数学课中不断地教授所有三种数学，也不意味着我们需要每天与每个学生开会。但是，我认为，当您有时间时，与陷入困境的学生开会有很大的好处，以确定他们的特定数学需求。
本讨论结束时的最后一个考虑因素是实现迭代方法的实际效率。根据 John Hattie 的研究，虽然概念主义方法略优于程序主义方法，而迭代方法明显优于概念主义方法，但这些方法都不是我们所说的高收益策略。这并不是说切换到迭代方法不会对您的课堂教学产生有意义的影响，而是说，如果这个概念对普通教师来说似乎是压倒性的，他们可以实施其他更具挑战性的高收益策略.归根结底，我写这篇文章的目的不是要让读者进入一个新的数学教学阵营，而是要为已经变得非常莫名其妙的两极分化的先前存在的辩论增添细微差别。
由内特约瑟夫撰写，
最后编辑：2020 年 5 月 12 日
有兴趣了解有关此主题的更多信息，请查看我们对 Jon Star 博士关于该主题的采访：
参考：
1. Bethany Rittle-Johnson 和 Michael Schneider。 （2011）。发展数学的概念和程序知识。牛津出版社。第 9 页。
2. 同上
3. Rittle 等人。 （2007 年）。数学非常规问题解决策略的通用和灵活使用。科学与教育。
4. Cowan, R.、Donlan, C.、Shepherd, D.-L.、Cole-Fletcher, R.、Saxton, M. 和 Hurry, J. (2011)。小学生的基本计算能力和数学成绩。教育心理学杂志，103，786-803。 doi: 10.1037/a0024556。
5. Schwartz, DL, Chase, CC, Chin, DB 和 Oppezzo, M. (2011)。实践与发明
对比案例：先讲述对学习和迁移的影响。杂志
教育心理学，103，759-775。 doi: 10.1037/a0025140
6. Hiebert, J. & Grouws, D. (2009)。哪种教学方法对数学最有效？更好的：
循证教育，2, 10-11。
7. J，哈蒂。 （2017）。海蒂排名：与学生成绩相关的 252 项影响和影响大小。可见学习。科温。取自 <https://visible-learning.org/hattie-ranking-influences-effect-sizes-learning-achievement/>。
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